BURACOS NEGROS COMO GERADORES DE PSICONS,
PENSAMENTO OU INFORMAÇÃO SEMÂNTICA
 

G. S.Sarti

(IPPP/ABRAP) – Abril de 2009

Nós já sabemos que o intervalo métrico infinitesimal da relatividade espacial desenvolvida em espaço euclidiano para uma coordenada linear é d S² = c² d t² - d r²          (1)

Na presença de uma massa M, a influência radial torna-se mínima e o tempo para que a massa central produza seus efeitos gravitacionais deverá ser máximo.  Em coordenadas curvilíneas vamos escolher tais métricas que influenciem o espaço e o tempo como - e ^λ(r), sobre o espaço e e ^{- λ(r)} sobre o tempo, tal que, no primeiro caso, - e ^λ(r), se r →∞, atinge o mínimo e no segundo, e ^{-λ (r)} =  -1 / e ^λ(r), atinge o máximo de influência temporal quando r → 0.

Tem-se em conta que a geometria da relatividade é tal (Galileu), que, como

,

onde .

ou d S² = g i k  d xⁱ d x^k.

Em relatividade geral com coordenadas curvilíneas e massa central vamos então fazer

,

ou ainda, d S² = g ik d xⁱ d x.

Na Relatividade, d xⁱ d x^k em uma dimensão é tal que

d x²₀ = c² d t²  e

d x²₁ = d r²

A expressão (1) transforma-se assim em

d S² = e^-λ  c² d t²  -  e^λ  d r²                   (2)

Após transformações matemáticas, conforme apêndice, chegou-se a

e ^-λ  =  1 + constante / λ   logo (2) ficará:

(3)  onde fez-se constante como cte.

Para uma massa central M e qualquer massa m distante r, a atração gravitacional é tal que a força exercida sobre m é  atrativa e igual por Newton, a:

                          (4)
 

sendo G a constante de gravitação.

Mas, a força sobre a partícula m é igual a F = ma, sendo a aceleração que m corpo recebe.  tem-se então que

, como potencial,

                           (5)

Da cinemática, em movimento uniformemente acelerado,

v² = 2 a r                          (6)

Substituindo (5) em (6) vem:

.

Naturalmente

,

adequada ao potencial atrativo.  Nesse caso, ao fazermos a constante cte de (3) igual a

:

                     (7)

Considerou-se aqui que o intervalo métrico não varia com a diferença, isto é, é isótropo, conforme apêndice.  Isto é, tornou-se um eixo dos r como exemplo.  Vê-se imediatamente que os termos entre parênteses assemelham-se muito ao quadrado do fator de correção de Lorentz,

.

Como o leitor reparou, nós passamos da Relatividade Especial para a Relatividade Geral.  Nesse último caso, com aceleração constante, equação (6) a velocidade v deve ser considerada como variável em função de r.  A WIKIPEDIA diz que este intervalo pode ser obtido por Newton mas que isso é mera coincidência.  Mas Landau (Nobel 1962) e Eddington usaram do mesmo raciocínio embora eu não tivesse reparado. (Ver Bibliografia e apêndice).  Assumindo pois tal "coincidência" como verdade, afinal eu sou parapsicólogo, tem-se o buraco negro de Schwarzchild,o chamado horizonte de eventos do buraco negro neutro e parado:

, tal

que .

Obviamente, se r₀ = r = 1, que é o horizonte natural de eventos, então v = c e qualquer corpo que vá penetrar o horizonte terá velocidade máxima (luz).  além do mais para r  0, v² > c².  Mas, como vimos neste site, se v > c do HE para o outro, a massa incidente m (um objeto qualquer) transforma-se em um PSICON tal que

.

adotando-se v = i c que significa uma mudança de dimensão para mais e tempo imaginário o Buraco Negro é assim um gerador de PSICONS, substrato, supondo, do pensamento ou da informação semântica.  Os PSICONS deixam igualmente o Buraco Negro pois suas velocidades de escape são superiores à luz .

Devo finalmente salientar que procedeu-se a uma transformação da geometria curva em massa, ao contrário da mecânica quântica, em que há uma transição da massa para a geometria.

Diga-se finalmente que se r = 0, chamada singularidade central do buraco negro, então

 (densidade linear)

estará igual ao infinito e o vácuo hiperdimencional estará presente no interior do HE, segundo indica a nossa teoria:

Mudanças de coordenadas são possíveis, tanto para evitar-se o HE como para introduzir-se rotação e/ou carga elétrica.

APÊNDICE

BURACO NEGRO PARADO NEUTRO

1. O intervalo Métrico

É - d s² = g_ik dxⁱ dx^k, omitido

.

É um invariante entre dois eventos considerados infinitesimalmente próximos, determinados pelos vetores diferenciais contravariantes das coordenadas, dxⁱ e dx^k.  Os g_ik são quantidades tensoriais covariantes, em geral funções das coordenadas xⁱ e x^k.

2. O Espaço Plano

Para o caso do espaço plano (não curvo, evidentemente), onde se aplica a geometria euclidiana, as quantidades g_ik são constantes.  Podemos particularizar fazendo:

g₀₀ = - 1

g₁₁ = g₂₂ = g₃₃ = 1

g_ik = 0  para i ≠ k

x⁰ = c t = velocidade de luz + tempo

x¹,  x²,  x³, coordenadas espaciais gerais

3. Expressão Cartesiana do Intervalo

Utilizando-se coordenadas cartesianas tem-se

x¹ = x,   x² = y  e   x³ = z,

logo

- ds² = - c² d t² + d x² + d y² + d z²

d s² = c² d t² - d l².

4. O Cone de Luz

Como a velocidade máxima é a luz ou da mais rápida propagação de causa e efeito, para dois eventos casualmente relacionados na direção do efeito (exclui-se portanto a precognição), tem-se o cone de luz no espaço - tempo plano:

No qual os "lados do cone representam emissões de luz do ponto 0.  Como os eventos são partida e chegada da luz, tem-se

ds² = 0 = c² d t² - d l²

logo

,

os dois sinais ± correspondendo aos dois sinais luminosos.  Assim a região hachurada 1 (futuro) e a região hachurada 2 (passado), em relação a 0, definem o espaço - tempo onde se podem localizar eventos casualmente relacionados.  Deve-se entender que a constante c não pode ser ultrapassada porque, se tal ocorresse, não se poderia diferenciar causa de efeito (excluímos, repetimos, a precognição).

5. Símbolos de Christoffel

Chamamos duas certas combinações dos tensores métricos, os símbolos de Christoffel, por:

,

,

logo  { k l, i } = g^im [ k l, m]

e também [ k l, i ] = g_im { k l, m }

Pode-se observar que há exatamente 40 símbolos diferentes, considerando-se que { i k, l } = { k i, l }.  Daí, com 24 repetições desse tipo, 4³ - 24 = 40.  embora os símbolos de Christoffel não sejam tensores, quando em contato com o tensor g_ik, comportam-se como tais.

6. Tensores

Como definição de tensores diremos que um tensor é covariante, por exemplo, A_ik, de segunda ordem (16 quantidades - funções), de tal forma que em uma transformação unívoca de coordenadas:

.

Para um tensor contravariante de 2^a ordem tem-se:

.

E, no caso misto,

.

7. Algumas Regras de Tensores

Tem-se a associação por exemplo:

                                      (7.1)

A contração, por exemplo:

              (7.2)

O produto, por exemplo

A_i Aⁱ = C, escalar                                      (7.3)

A mobilidade dos índices repetidos (para os quais se soma):

A_ik B^ik = A^ik B_ik                         (7,4)

A troca se define quando em um termo dos índices repetidos são trocados.

(7.5)

8.  Derivada Covariante

No item 7 foi definido o tensor para coordenadas quaisquer.  Para um vetor (tensor de ordem um) contravariante tem-se:

.

Sua derivada covariante será:

.

Isto é, d Aⁱ não se transforma como um vetor por causa da existência do termo de 2^a ordem.  Tampouco as derivadas parciais δAⁱ / δx^k, que são tensores em coordenadas cartesianas, não se transformam como tensores em coordenadas gerais.  Pode-se concluir então que d Aⁱ não é um vetor na acepção cartesiana do tempo, isto é, os vetores que dão a diferença d Aⁱ não partem do mesmo ponto em coordenadas curvilíneas.  Existe portanto uma discrepância entre o que se supõe serem vetores em coordenadas cartesianas e em sistemas gerais, e que chamaremos de δAⁱ.  Nesse caso, a diferencial geral será a diferença DAⁱ, vetor, que provocamos mentalmente, ao fazermos com que os dois vetores partam do mesmo ponto, tal que:

DAⁱ = dAⁱ - δAⁱ.

Verificaremos, no decorrer desta parte, que

δAⁱ = - { k l, i } A^k d x^l                        (8.1)

Suponhamos que isso seja verdadeiro.  Vimos pela regra (7.3) que A_i Bⁱ é um escalar, portanto:

δ( A_i Bⁱ ) = A_i δBⁱ + Bⁱ δA_i = 0

logo  Bⁱ δA_i = - A_i δBⁱ

Por (8.1) vem:   Bⁱ δA_i = { k l, i } B^k A_i d x^l

Aplicando-se a regra (7.4) tem-se

Bⁱ δA_i = { i l, k } A_k Bⁱ d x^l

Logo, para o vetor covariante A_i, a discrepância será:

δA_i = { i l, k } A_k d x^l                               (8.2)

Então,  DAⁱ = dAⁱ + { k l, i } A^k d x^l   ou

              (8.3)

E, também,

(8.4)

Em (8.3) e (8.4) teremos os termos entre parênteses como as derivadas covariantes de vetores contravariantes e covariantes, respectivamente:

                         (8.5)

                       (8.6)

omitida a soma .

Para uso futuro,

                  (8.7)

Os resultados da derivada covariante de vetores podem ser ampliados para tensores.  Seja Cⁱ B^k o tensor de 2^a ordem sob prova:

δ( Cⁱ B^k ) = Cⁱ δB^k + B^k δCⁱ = δA^ik.

Utilizando (8.1) vem:

.

Logo δA^ik pode ser generalizado para

- (A^im { m l , k } + A^mk { m l , i } ) d x^l

em operação na qual utilizou-se a regra (7.5), trocando-se l e m.  Com esse resultado, a diferencial de A^ik é:

DA^ik = dA^ik + ( A^im { m l , k } + A^mk { m l , i } d x^l

Igualmente ao caso dos vetores, a derivada covariante de A^ik em relação a x^l será:

                         (8.8)

A de A^ik será:

                       (8.9)

Estes resultados podem ser generalizados para todos os tensores.

9. Confirmação dos Símbolos de Christoffel.

Em coordenadas cartesianas ( A_i )_k - ( A_k)_i = 0, como ficou implícito no item 8.

:

.

Por (8.6) vem:

.

Com igualdade anterior para   :

,

confirmando as 24 repetições de símbolos.

Pela regra (7.1) vem:

.

Logo D g_ik = 0.  De (8.9) tem-se:

.

Por definição,

.

Assim,

.

Permutando-se os índices da derivada covariante obtém-se:

.

Assim,

.

Igualmente,

.

Somando-se as três derivadas covariantes obtém-se

.

Logo

.

Confirmam-se assim as relações do item 5.
 

10. Significado dos Símbolos de Christoffel

Pela expressão do intervalo métrico pode-se ter uma noção do tempo próprio.  Para um ponto no espaço, permanecendo inalteradas suas componentes espaciais, as diferenças de coordenadas dx se anulam.  Então, o tempo decorrido por dois eventos no ponto será tal que

.

Como c é uma constante, podemos traçar uma analogia entre o tempo próprio e o intervalo métrico.  Posto isso, para uma partícula em movimento livre,

.

Logicamente, d vⁱ = 0, isto é, "aceleração" nula.  Em coordenadas curvilíneas, D vⁱ = 0.  Usando-se (8.3) vem:

.

Ou ainda,

.

Esta é a equação da geodésica.  Verificamos que no deslocamento paralelo, a derivada do vetor em coordenadas curvilíneas não era um vetor e que havia uma discrepância.  Aqui também surge a mesma discrepância para uma partícula em movimento livre em coordenadas curvilíneas.  Se eliminarmos a discrepância, por g _ik = cte, então caímos na trivialidade , o movimento torna-se "retilíneo" no espaço - tempo ou este passa a ser plano. 

Supõe-se que o campo gravitacional modifica a planidade do espaço  tempo o que pode ser interpretado como a introdução de um sistema referencial curvo.  Assim, a discrepância do deslocamento paralelo é a mesma discrepância que existe na medida da diferença entre a trajetória geodésica e a trajetória retilínea da partícula.

11. Um Particular Símbolo de Christoffel

Pode-se definir

                                    (11.1)

onde,

.

Tem-se g. g^ik = cofator de g_ik.

Define-se

               (11.2)

,

pela troca de k por l, pois há uma repetição no termo.  aplicando-se o resultado (11.2) obtém-se:

               (11.3)

g < 0 para coordenadas reais.

12. Tensor de Riemman - Christoffel

Tomemos a segunda derivada de A_i, inserindo (A_i)_k, obtida em (8.7), em (8.9):

;

.

Logo:

Os dois últimos termos podem ser escritos pela troca de m  e  r  no último:

.

Os cinco primeiros termos, ao trocarmos k e l, mantêm-se inalterados, de forma que ficam restando apenas os dois últimos, na operação abaixo:

Simplificando:

.

13. Lei da Gravitação no Espaço vazio

Fazendo r = l no tensor de Riemman - Christoffel obtemos o tensor de Ricci

.

Aplicando (11.3) ocorre:

.

Por troca de índices vem:

                     (13.1).

Fazendo G_ik = 0, tem-se a lei procurada, a mais simples; isto é, ela mostra que a geometria do espaço vazio não é uma função qualquer dos valores assumidos pelos g_ik, mas aquelas funções tais que sua aplicação em (13.1) anulam G_ik.  Também ela não significa que o espaço-tempo seja plano (isso ocorre somente se o tensor de Riemman - Christoffel se anula).

14. O Limite de Schwarzschild

Se uma partícula perturba o espaço podemos admitir que os g_ik sejam funções da distância radial à partícula.  A descrição dessa dependência é dada em coordenadas esféricas r, θ, Ф, t, as quais mantêm as seguintes relações com as coordenadas cartesianas:

x = r sen θ cos Ф;  y = r sen θ sen Ф;  z = r cos θ;  ct = ct.

Daí as diferenciais das coordenadas são:

dx = - r sen θ sen Ф d  +  r cos θ cos Ф d θ  + sen θ cos Ф d r

dy =  r sen θ cos Ф d  +  r cos θ sen Ф d θ  +  sen θ sen Ф d r

dz = - r sen θ d  +  cos θ d r

c d t = c d t

Logo, para o espaço plano, aplicando-se a fórmula algébrica multinominal

,

na qual se soma para todos os inteiros  não negativos tais que

Σ n_i = n

Acaba-se por obter:

ds² = - dr² - r² d θ²  - r² sen² θ d Ф²  + c² dt²

Conforme antes dito, a geometria passa a ser uma dependência da partícula, tal que acontece uma curvatura como função dos g_ik (r).

Escolhendo-se  ds² = - e^λ dr² - r² d θ²  - r² sen² θ d Ф²  + e ^ν c² dt²,

e sabendo-se que

dx0 = cdt		g00 = ev
dx1 = dr	e	g11 = - e λ
dx2 = d θ		g22 = - r2
dx3 = d Ф		g33 = - r2 sen2 θ

onde λ = λ ( r )  e   v = v( r ), tal que como já implícito; ter-se-á g_ik = 0 para  i ≠ k.  Obviamente | g | reduz-se à multiplicação dos elementos do traço diagonal:

- g = e ^{λ + v}  r⁴ sen² θ

Assim, por (11.1):

g⁰⁰ = e -^v ;  g¹¹ = - e ^-λ ;  g²² = - 1/r² ;  g³³ = - sen² θ 1/r²

Como os g_ik se anulam para i ≠ k, as únicas possibilidades para os símbolos de Christoffel são:

{ i i , i },  {i i , k },  {i k , k }, não sendo considerados somatórios mas elementos independentes.  Aplicando-se (11.3) tem-se:

,

nos quais o sinal - pôde ser retirado pelo abaixamento do expoente 1/2 do logaritmo.

Pelo desenvolvimento do próprio símbolo de Christoffel, determina-se a terceira possibilidade:

.

Com as três possibilidades acima, pode-se preenchê-las com os índices numéricos 0, 1, 2 e 3 de tal forma que tenham expressão, enquanto os demais anulam-se pelas próprias derivações.  São os seguintes preenchimentos que interessam:

.

Tem-se pois 13 símbolos preenchidos que não se anulam.

Aos G_ik, para i = k de 0 a 3, deverão estar contidos estes 13 símbolos.  Introduzindo-os em (13.1) e verificando que os primeiros dos 3 índices de cada símbolo devem corresponder ao índice i de G_ik, chega-se às equações nulas de G_ik:

.

Substituindo os símbolos nas equações Gik = 0 para i = k e manipulando-os algebricamente tem-se:

                         (14.1)

                                            (14.2)

                                                 (14.3)

A expressão de G₃₃ repete G₂₂ a mais da função multiplicativa sen² θ, daí não haver necessidade de desenvolvê-la.

Com os G₀₀ e G₁₁ obtidos, observamos que deveremos ter  λ' /r = - v'/r  ou  λ' = - v'.

podemos supor então que  λ = - v.  Com isso, a equação nula de G₂₂ torna-se:

e^v ( 1 + r v' ) = 1

Fazendo-se e^v = γ  vem:

γ + r  γ' = 1.

Resolvendo esta equação diferencial:

,

logo

.

Aplicando a regra geral de solução para equações lineares de 1a ordem vem:

,

logo

,

e então

,

que fica

,

onde cte é obviamente a constante de integração.  Logo

.

Pode ser mecanicamente demonstrado (não o faremos aqui), que o intervalo métrico na presença de potencial de gravitação ψ deixa de ser plano e exprime-se como

- ds² = - ( c2 + 2 ψ ) dt² + d l²,

nesse caso,

.

Para grandes distâncias da partícula, o potencial  ψ se iguala à sua forma newtoniana  ψ = - K m/r,  sendo K = 6,67 x 10^-8 cm³ g^-1 s^-2 e  m  a massa da partícula.

Substituindo encontra-se:

.

Introduzindo g₀₀ no intervalo métrico considerado neste item resulta:

,

tendo-se em vista que g₀₀ = e^v = e^-λ .

Como não foram feitas considerações extras de carga e rotação, esta equação se aplica a massas sem movimento rotacional ou com pulsação radial simétrica.  Além disso, feitos d Ф e d θ iguais a zero, nesta uma dimensão em que verificaremos duas singularidades:

para  r = 0, quando  g₁₁ → 0  e  g₀₀ → ∞

,

limite de Schwarzschild, quando g₀₀ → 0  e  g₁₁ → ∞ .

Esse limite expressa que, para corpos de massa m, seus raios mínimos são:

.