2 - Poderemos fazer c = 1, velocidade da luz e supor, ao invés de Galileu, que fez t' = t , fazendo-se x = x' e tempo variável e relativo.  Nesse caso, Galileu teria feito

                        ( 5 )

3 - Retornando à transformação espacial  (3) de Galileu, verifica-se ser este o início da conhecida expressão do ângulo θ origem da onda de matéria que se repete periodicamente, tal que

                       ( 6 ) = ( 3 )

fazendo-se

                      ( 7 )

e supondo-se que a onda, caminhando no sentido crescente do eixo do x, repete-se a cada comprimento de onda λ, é lícito supor-se que em θ + λ uma certa função periódica repita-se, tal que em 2π ocorram k repetições lineares de λ.

Então poder-se-á considerar para efeitos práticos, que

             ( 8 )

sendo

Nesse caso vem:

              ( 9 )

A quantização dos estados ligados admite que em 2π r haja n λ comprimentos de onda tal que

2π r = n λ

Na ausência de forças centrais, isto é, estados não ligados, não há a limitação n e λ passa a ser uma função exclusiva de r, sendo r a distância da força central à uma certa partícula livre desta força.

A expressão (q) fica:

                       ( 10 ).

                    ( 11 ), já que no movimento circular v = ω r.

Como visto, a expressão (11) pode ser escrita como

                         ( 12 )

Como 2π r = λ, partícula livre,  k v = ω e o ângulo θ de (10) passa a ser

θ  =  k x - ω t                          ( 13 )

Tem-se a plena equivalência matemática das igualdades (3), (6) e (13), ou:

θ  =  x - v t  =  k x - ω t            ( 14 )

4 - O PSICON - ONDA ou a expressão ondulatória de uma partícula livre é a expressão (14) multiplicada por i:

sendo ψ a conhecida amplitude da função de onda quântica que define os estados possíveis da partícula.

Naturalmente, tem-se, usando (13)

                       ( 15 )

Em geral, é aceito simplesmente que

                   ( 16 ),

pois pode-se operacionalizar a exponencial em termos da análise de Fourier a partir da igualdade de Moivre

          ( 17 ),

com uso dos desenvolvimentos em série de Taylor.

5 - Foi obtida a transformação espacial de Galileu para a função ondulatória tal que:

x - v t  → θ = k x - ω t                ( 18 ).

6 - Pode-se repetir a operação para o nosso Galileu do tempo

t - v x  → θ = k t - k v x              ( 19 )

onde  k v = ω

Fazendo, igualmente,

θ = t - v x                                     ( 20 ),

e dando os mesmos passos utilizados para a transformação espacial, relativos a uma partícula livre (PSICON) do espectro contínuo de energia chega-se inevitavelmente à transformação (19).

7 - Deve ser verificado que a introdução do imaginário

retrocede às próprias transformações de Lorentz - Einstein (1)  e (2).

Isso significa que

                    ( 21 )

ou

                     ( 22 )

em que, a princípio,

                                              ( 23 ).

8 - A igualdade

deverá ser colocada sob a forma

                                       ( 24 )

Sabe-se que a velocidade de fase do PSICON - ONDA ou onda plana é

                                                       ( 25 )

Já demonstramos inúmeras vezes em outros artigos deste site que v > 1 implica na Teoria da Relatividade não corrigida de Einstein a v = i, quarta dimensão espacial real  e tempo imaginário.  Este fato foi corroborado com a Teoria Multidimensional do Universo (TMD), em que chega-se à uma expressão simplesmente geométrica do fóton.

Mas, vamos deixar estas considerações em aberto e usar unicamente

De (24) tem-se

                                ( 25 )

                                         ( 25.1 )

e igualmente,

                                 ( 26 )

                                         ( 26.1 )

Utilizando em (25) ou (25.1) e (26) ou (26.1) as expressões de de Broglie

                                                         ( 27 )

                                                       ( 28 )

Tem-se, de (25)

            ( 29 )

                                    ( 30 )

e, de (26)

                                     ( 31 )

Com (30)

                                         ( 32 )

Esses desenvolvimentos apenas confirmam as relações antes obtidas para (21) e (22).

9 - Viu-se inicialmente no item anterior que θ ( x )  ≠  θ ( t ).

Mas, iremos verificar que se θ ( x )  =  θ ( t ) isso vai implicar em que v = ± i, v que até agora não ficou explícito.

Vamos aplicar inicialmente a equação clássica de ondas a  i θ ( x ).

Seja

a equação clássica de ondas para um deslocamento de partícula - onda à velocidade v.

Utilizando-se

expressão (21), obtém-se com a equação de ondas:

isto é,

                                      ( 33 )

Fazendo o mesmo com

expressão (22) obtém-se:

isto é,

ω ² = k ² ⁄ v²                                               ( 34 )

Explicitando-se v² em (33) e (34) e fazendo

θ (x)  = θ (t)  tem-se

v² =  1  ⁄  v²  .^..  v⁴ = 1

São duas as soluções possíveis:

v² = 1

v² = - 1.

No primeiro caso  v = 1 e não há movimento algum.

No segundo,

Este resultado, se verdadeiro, implica em que

Em outros termos, o uso da Relatividade Especial como a conhecemos para uma partícula livre (PSICON, bóson sem spin, no caso), transformada para uma função quântica de onda plana (PSICONS - ONDA) revela que, na quarta dimensão, as expressões que regem os movimentos da partícula ou da onda são idênticos.

10 - O uso de   expi ( kx - ω t)   ou de   expi i ( ρ t - ω x)   irá obrigatoriamente fazer com que (1) e (2) sejam escritos na seguinte forma:

                         ( 35 )

                          ( 36 ).

O fator de correção de Lorentz, γ, deverá ser generalizado para i γ de tal forma que as equações de transformação não sejam alteradas, isto é,

                        ( 37 )

                         ( 38 )

Explicitamente, tem-se a generalização

                         ( 39 )

                          ( 40 )

Nesse caso, é admitida naturalmente que  v > 1, isto é, que a velocidade da partícula possa superar a da luz.

A aplicação tradicional que foi feita estendida à massa, tradicionalmente, conduz a

que é a expressão original do PSICON como já adiantado desde 1982, constante dos livros "TÓPICOS AVANÇADOS EM PARAPSICOLOGIA" e "PSICONS - DO REAL AO IMAGINÁRIO", o primeiro editado em 1987 pela EGUSA e o segundo pela ABRAP em 1991.

Insisto em afirmar que  im₀ significa o conceito, com degeneração da massa, apropriado para as transmissões (comunicações) mentais (LINK MENTE - MENTE), movendo-se suprarelativisticamente e capaz de produzir energia do vácuo, além das enormes mudanças que poderá produzir nos seres do ponto de vista das suas interrelações sociais e com o ambiente, como já salientado diversas vezes neste site.

Futuramente, tentar-se-á desenvolver o mesmo raciocínio aqui empregado para estados ligados quantizados tais que 2π r = n λ,   n = 1, 2, 3 ....

e energia negativa  - E_n ,   n = 1, 2, 3, 4, até zero.