De acordo com a relatividade especial, o chamado intervalo métrico, para 1
coordenada temporal t e uma coordenada espacial x, é
S12 = c2
t2 - x2
(1)
Nesta expressão, c é a velocidade da luz.
Deve ser salientado que toda a relatividade pode ser desenvolvida isoladamente
para cada dimensão (ver: Teoria da Relatividade em uma Dimensão e sua
Generalização para N Espaços Reais - Tempo imaginário, e outras considerações
sobre energia de Outubro de 2008).
Ao introduzirmos a coordenada espacial y, o intervalo métrico tornar-se-á:
S22 = c t2
- x2 - y2
(2)
Nesse caso,
S12 = c2
t2 - y2
e S12
= c2 t2 - z2.
Supondo-se x no tempo t, isto é,
,
anula-se tal que
c2 t - x2
= 0
(3)
Neste caso, substituindo-se em (2), virá automaticamente:
S22 =
- y2
(4)
Veja-se que não houve uma transformação de coordenadas. Apenas a inclusão
da coordenada y.
Considerando-se que para S2 deveremos ter uma expressão do tipo
S22 =
c2 t2
- X2
(5)
sendo X uma coordenada virtual que mantém íntegra a
expressão do intervalo métrico S2.
Comparando-se com (4) virá:
S22 =
c2 t2 - X2
= - y2
(6)
Mas (6) pode ser escrita como:
y2 = X2 - c2 t2
(7)
Então, decorrido o tempo t, a coordenada virtual X será obrigatoriamente maior
que c t, pois y2 é positivo.
Logo,
X2 - c2 t2 > 0 ou
X2 > c2 t2
logo
ou
.
Esta abordagem é compatível com uma "Pirâmide de Luz" e não como um "Cone de
Luz", como em geral são conhecidos os limites de Einstein para o espaço tempo.
A Pirâmide de Luz será então em 2 dimensões x e y:
O "Cone de Luz", segundo o próprio Einstein em "The Meaning of Relativity",
Princeton University Press, 5th Edition, 1956, New Jersey.
será:
Vejam-se os "argumentos de Einstein", págs 37, 38 e 39 do seu mencionado livro:
"General Statements about the Lorentz Transformation and its Theory of
Invariants. The whole theory of invariants of the special theory of
relativity depends upon the invariant s2 (23). Formally, it has
the same rôle in the four-dimensional space-time continuum as the invariant
∆ x12 + ∆ x22
+ ∆ x32
in the Euclidean geometry and in the pre-relativity physics. The latter
quantity is not an invariant with respect to all the Lorentz transformations;
the quantity s2 of equation (23) assumes the rôle of this invariant.
With respect to an arbitrary inertial system, s2 may be determined by
measurements; with a given unit of measure it is a completely determinate
quantity, associated with an arbitrary pair of events.
The invariant s2 differs, disregarding the number of dimensions, from
the corresponding invariant of the Euclidean geometry in the following points.
In the Euclidean geometry s2 is necessarily positive; it vanishes
only other hand, from the vanishing of
s2 = Σ∆ xv2
= ∆ x12 + ∆ x22
+ ∆ x32 - ∆ t2
it cannot be concluded that the two space-time points fall together; the
vanishing of this quantity s2, is the invariant condition thar the
two space-time points can be connected by a light signal in vacuo.
If P is a point (event) represented in the four-dimensinal space of the x1,
x2, x3, l, then al the "points" which can be connected to
P by means of a light signal lie upon the cone s2 =
0 (compare Fig. 1, in which the dimension x3 is suppressed).
The "upper"
half of the cone may contain the "points" to which light signals can be send
from P; then the "lower" half of the cone will contain the "points" from which
light signals can be send to P. The points P' enclosed by the conical
surface furnish, with P, a negative s2; PP', as well as P' P is then,
according to Minkowski, time-like. Such intervals represent elemens of
possible paths of motion, the velocity being less than that of light.* In
this case the l-axis may be drawn in the direction of PP' suitably choosing the
state of motion of the inertial system. If P' lies out-side of the "light-cone"
then PP' is space-like; in this case, by properly choosing the inertial system,
∆l can be made to vanish.
*The material velocities exceeding that of light are not possible, follows from
the appearance of the radical 
in the special Lorentz transformation (29)."
CONSIDERAÇÃO
O grifo no texto é meu.
Se não considerarmos (disregarding) o número de dimensões, chega-se à
conclusão que
c2 t2 - x2 = c2 t2
- x - y2 = c2 t2 - x2 -
y2 - z2
...
Nesse caso,
R2 = x2 = x2 + y2
= x2 + y2 +z2
...
Entretanto, por exemplo, se o valor de x2 for igual ao valor de y2 como suposto,
nos 2os termos destas expressões, virá:
R2 = x2 + x2 = 2x2.
Assim, por absurdo,
x2 = 2 x2
Creio que o Einstein está certo em trocar fisicamente um cone de luz.
Afinal, a luz se propaga igualmente em todas as direções no vácuo. Mas os
pontos ou linhas do universo, podem ser sempre independentes das coordenadas
consideradas individualmente e suas projeções nos eixos coordenados poderão ser
iguais, caso do exemplo acima. Em outros termos, tem-se que utilizar uma
matemática pitagórica para satisfazer o conceito relativista.
Em verdade, as expressões desta consideração só seriam corretas se tivéssemos:
R2 = c2 t - x2 = c2 t2 -
x2 sen2 θ - x2 cos2 θ = c2
t2 - sen2
o ângulo da linha de universo em 3 dimensões com o plano x y.
De qualquer forma, esta nova concepção não altera nossa multidimensionalidade
universal exposta ao longo do texto, particularmente "Universo Multidimensional
com Coordenadas Esféricas" de janeiro de 2009.
Neste caso, R2 = x2 + y2 + z2
+ ...
Mas, z2 = R2 - x2 - y2.
Expressando z em função de x e y, teremos, por derivação:
z d z = - (x d x + y d y)
Dividindo-se por t d t
vz2 =
- (vx2 +
vy2)
Então, se vx2
= vy2,
vz2
= - 2 vx2
ou
Esta é uma expressão hiperdimensional da velocidade; sempre será necessária uma
dimensão adicional que represente as anteriores, caso contrário teríamos a
trivialidade
vx = 0
CONCLUSÃO
1 - Por Einstein, x2 = x2 + y2 = x2
+ y2 + z2 = R2
2 - Pela abordagem multidimensional se
x2 = y2 = z2 = R2
x2 = R2
x2 + y2 = 2 R2
x2 + y2 + z2 = 3 R2
1 - No primeiro caso (Einstein), com a segunda expressão ter-se-á:
x2 + y2 = R2 ou derivando,
x d x = - y d y ou
vx
= i vy
2 - No segundo caso (Multidimensional), com a segunda expressão ter-se-á:
x2 + y2 = 2R2
x d x = - y d y ou
vx
= i vy
Resumindo, ambos os casos resultam em velocidades hiperdimensionais imaginárias
Em geral,
Fazendo o "cone de luz", para Einstein
c2 t2 = R2
c t = R
Multidimensionalmente, tem-se a "pirâmide de luz", para a segunda expressão, por
exemplo:
c2 t2 = 2 R2
.
As expressões x d x = y d y correspondem à rotação de 90º tal que
y = i x e
d y = i d x
De fato,
x d x = - ( i ) ( i ) x d x
logo
x d x = x d x
o que dá consistência à expressão das velocidades hiperdimensionais.
Isto confirma-se igualmente se fizermos:
x = R cos θ e y = r sen θ.
Logo
sen θ cos θ d θ = sen θ cos θ d θ.
